二十六这要算不可能了（第1页）

二十六、这要算不可能了

“从来没有碰过钉子，今天却要大碰特碰了。”马先生这一课这样开始，“在上次讲正比例时，我们曾经说过这样的例：一个数和它的平方数，1和1、2和4、3和9、4和16……都是同时变大、变小，但它们不成正比例。你们试把它画出来看看。”

图125

真是碰钉子！我用横线表示数，纵线表示平方数，先得A、B、C、D四点，依次表示1和1、2和4、3和9、4和16，它们不在一条直线上。这还有什么办法呢？我索性把表示5和25、6和36、7和49、8和64、9和81、10和100的点E、F、G、H、I、J，都画了出来。真糟！简直看不出它们是在一条什么线上！

问题本来很简单，只是这些点好像是在一条弯曲的线上，是不是？成正比例的数或量，用点表示，这些点就在一条直线上。为什么不成正比例的数或量，用点表示，这些点就不在一条直线上呢？

对于这个问题，马先生说，这种说法是对的。他又说，本题的曲线，叫作抛物线。本来左边还有和它成线对称的一半，但在算术上用不到它。

“现在，我们谈到反比例的问题了，且来举一个例子看。”马先生说。

这个例子是周学敏提出的：三个人十六天做完的工程，六个人几天做完？

不用说，单凭心算，我也知道只要八天。

图126

马先生叫我们画图。我用纵线表示日数，横线表示人数，得A和B两点，把它们连成一条直线。奇怪！这条纵线和横线交在9，明明是表示9个人做这工程，就不要天数了！这成什么话？哪怕是很小的工程，由十万人去做，也不能不费去一点儿时间呀！又碰钉子了！我正在这样想，马先生似乎已经察觉到我正在受窘，向我这样警告：“小心呀！多画出几个点来看。”

我就老老实实地，先算出下面的表，再把各个点都记出来：

还有什么可说呢？C、D、E、F、G、H、I、J这八个点，就没有一个点在直线AB上。——它们又成一条抛物线了，我想。

但是，马先生说，这和抛物线不一样，它叫双曲线。他还说，假如我们画图的纸是一个方方正正的田字形，纵线是田字中间的一竖，横线是田字中间的一横，这条曲线只在田字的右上一个方块里，那么在田字左下的一个方块里，还有和它成点对称的一条。原来抛物线只有一条，双曲线却有两条，田字左下方块里一条，也是算术里用不到的。

虽然碰了两次钉子，也多知道了两种线，倒也合算啊！

“无论是抛物线或双曲线，都不是单靠一把尺子和一个圆规能够画出来的。关于这一类问题，现在要用画图法来解决，我们只好宣告无能为力了！”马先生说。

停了两分钟，马先生又提出下面的一个题，叫我们画：

2的平方是4，立方是8，四方是16……用线表示出来。

马先生今天大概是存心捉弄我们，这个题的线，我已知道不是直线了。我画了A、B、C、D、E、F六点，依次表示2的一方2、平方4、立方8、四方16、五方32、六方64。果然它们不在一条直线上，但连接它们所成的曲线，既不像抛物线，又不像双曲线，不知道又是一种什么宝贝了！

图127

我们原来都只画OY这条纵线右边的一段，左边拖的一节尾巴，是马先生加上去的。马先生说，这条尾巴可以无限拖长，越长越和横线相近，但无论怎样，永不会和它相交。在算术中，这条尾巴也是用不到的。

这种曲线叫指数曲线。

“要表示复利息，就用得到这种指数曲线。”马先生说，“所以，要用老方法来处理复利息的问题，也只有碰钉子了。”马先生还画了一张表示复利息的图给我们看。它表出本金100元，一年一期，10年中，年利率2厘、3厘、4厘、5厘、6厘、7厘、8厘、9厘和1分的各种利息。

图128